Для начала рассмотрим круг с радиусом 1 и с центром в (0;0). Для любого αЄR можно провести радиус 0A так, что радианная мера угла между 0A и осью 0x равна α. Направление против часовой стрелки считается положительным. Пусть конец радиуса А имеет координаты (a,b).
Определение синуса
Определение: Число b, равное ординате единичного радиуса, построенного описанным способом, обозначается sinα и называется синусом угла α.
Пример: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0
Определение косинуса
Определение: Число a, равное абсциссе конца единичного радиуса, построенного описанным способом, обозначается cosα и называется косинусом угла α.
Пример: cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2
Эти примеры используют определение синуса и косинуса угла через координаты конца единичного радиуса и единичной окружности. Для более наглядного представления необходимо нарисовать единичную окружность и отложить на ней соответствующие точки, а затем посчитать их абсциссы для вычисления косинуса и ординаты для вычисления синуса.
Определение тангенса
Определение: Функция tgx=sinx/cosx при x≠π/2+πk, kЄZ, называется котангенсом угла x. Область определения функции tgx это все действительные числа, кроме x=π/2+πn, nЄZ.
Пример: tg0 tgπ = 0 0 = 0
Этот пример аналогичен предыдущему. Для вычисления тангенса угла нужно поделить ординату точки на её абсциссу.
Определение котангенса
Определение: Функция ctgx=cosx/sinx при x≠πk, kЄZ называется котангенсом угла x. Область определения функции ctgx = -все действительные числа кроме точек x=πk, kЄZ.
Рассмотрим пример на обычном прямоугольном треугольнике
Чтобы было понятнее, что же такое косинус, синус, тангенс и котангенс. Рассмотрим пример на обычном прямоугольном треугольнике с углом y и сторонами a,b,c . Гипотенуза с, катеты соответственно a и b. Угол между гипотенузой c и катетом b y.
Определение: Синус угла y - это отношение противолежащего катета к гипотенузе: siny = а/с
Определение: Косинус угла y это отношение прилежащего катета к гипотенузе: сosy= в/с
Определение: Тангенс угла у - это отношение противолежащего катета к прилежащему: tgy = а/в
Определение: Котангенс угла y -это отношение прилежащего катета к противолежащему: ctgy= в/а
Cинус, косинус, тангенс и котангенс называют ещё тригонометрическими функциями. У каждого угла есть свой синус и косинус. И практически у каждого есть свой тангенс и котангенс.
Считается, что если нам дан угол, то его синус, косинус, тангенс и котангенс нам известны! И наоборот. Дан синус, или любая другая тригонометрическая функция соответственно, мы знаем угол. Созданы даже специальные таблицы, где расписаны тригонометрические функции для каждого угла.
Синус
острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего
катета к гипотенузе.
Обозначается так: sin α.
Косинус
острого угла α прямоугольного треугольника – это отношение прилежащего
катета к гипотенузе.
Обозначается так: cos α.
Тангенс
острого угла α – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
Обозначается так: tg α.
Котангенс
острого угла α – это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Обозначается так: ctg α.
Синус, косинус, тангенс и котангенс угла зависят только от величины угла.
Правила:
Основные тригонометрические тождества в прямоугольном треугольнике:
(α – острый угол, противолежащий катету b и прилежащий к катету a . Сторона с – гипотенуза. β – второй острый угол).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
sin α |
При возрастании острого угла
sin α и
tg α возрастают, а
cos α убывает.
Для любого острого угла α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Пример-пояснение :
Пусть в прямоугольном треугольнике АВС
АВ = 6,
ВС = 3,
угол А = 30º.
Выясним синус угла А и косинус угла В.
Решение .
1) Сначала находим величину угла В. Тут все просто: так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90º, то угол В = 60º:
В = 90º – 30º = 60º.
2) Вычислим sin A. Мы знаем, что синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Для угла А противолежащим катетом является сторона ВС. Итак:
BC 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2
3) Теперь вычислим cos B. Мы знаем, что косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла В прилежащим катетом является все та же сторона ВС. Это значит, что нам снова надо разделить ВС на АВ – то есть совершить те же действия, что и при вычислении синуса угла А:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
В итоге получается:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Из этого следует, что в прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла – и наоборот. Именно это и означают наши две формулы:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Убедимся в этом еще раз:
1) Пусть α = 60º. Подставив значение α в формулу синуса, получим:
sin (90º – 60º) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.
2) Пусть α = 30º. Подставив значение α в формулу косинуса, получим:
cos (90° – 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.
(Подробнее о тригонометрии - см.раздел Алгебра)
Составной частью ЕГЭ являются тригонометрические уравнения.
К сожалению, не существует общего единого метода, следуя которому можно было бы решить любое уравнение, в котором участвуют тригонометрические функции. Успех здесь могут обеспечить лишь хорошие знания формул и умение видеть те или иные полезные комбинации, что вырабатывается лишь практикой.
Общая цель обычно состоит в преобразовании входящего в уравнение тригонометрического выражения к такому виду, чтобы корни находились из так называемых простейших уравнений:
| сos px = a; | sin gx = b; | tg kx = c; | ctg tx = d. |
Для этого необходимо уметь применять тригонометрические формулы. Полезно знать и называть их “именами”:
1. Формулы двойного аргумента, тройного аргумента:
сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;
sin 2x = 2 sin x cos x;
tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;
ctg 2x = (ctg 2 x – 1)/2 ctg x;
sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3 x;
cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;
tg 3x = (2 tg x – tg 3 x)/(1 – 3 tg 2 x);
ctg 3x = (ctg 3 x – 3ctg x)/(3ctg 2 x – 1);
2. Формулы половинного аргумента или понижения степени:
sin 2 x/2 = (1 – cos x)/2; сos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;
tg 2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);
ctg 2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);
3. Введение вспомогательного аргумента:
рассмотрим на примере уравнения a sin x + b cos x = c а именно, определяя угол х из условий sin y = b/v(a 2 + b 2), cos y = a/v(a 2 + b 2), мы можем привести рассматриваемое уравнение к простейшему sin (x + y) = c/v(a 2 + b 2) решения которого выписываются без труда; тем самым определяются и решения исходного уравнения.
4. Формулы сложения и вычитания:
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;
sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b;
cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b;
cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;
tg (a + b) = (tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);
tg (a – b) = (tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);
5. Универсальная тригонометрическая подстановка:
sin a = 2 tg (a/2)/(1 + (tg 2 (a/2));
cos a = (1 – tg 2 (a/2))/(1 + (tg 2 (a/2));
tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));
6. Некоторые важные соотношения:
sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));
cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));
7. Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:
sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 cos (a – b)/2;
cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;
tg a + tg b = sin (a + b)/(cos a cos b);
tg a – tg b = sin (a – b)/(cos a cos b).
А также формулы приведения.
В процессе решения надо особенно внимательно следить за эквивалентностью уравнений, чтобы не допустить потери корней (например, при сокращении левой и правой частей уравнения на общий множитель), или приобретения лишних корней (например, при возведении обеих частей уравнения в квадрат). Кроме того, необходимо контролировать принадлежат ли получающие корни к ОДЗ рассматриваемого уравнения.
Во всех необходимых случаях (т.е. когда допускались неэквивалентные преобразования), нужно обязательно делать проверку. При решении уравнении необходимо научить учащихся сводить их к определенным видам, обычно начиная с легких уравнении.
Ознакомимся с методами решения уравнений:
1. Сведение к виду аx 2 + bx + c = 0
2. Однородность уравнений.
3. Разложение на множители.
4. Сведение к виду a 2 + b 2 + c 2 = 0
5. Замена переменных.
6. Сведение уравнения к уравнению с одной переменной.
7. Оценка левой и правой части.
8. Метод пристального взгляда.
9. Введение вспомогательного угла.
10. Метод “ Разделяй и властвуй ”.
Рассмотрим примеры:
1. Решить уравнение: sin x + cos 2 х = 1/4.
Решение : Решим методом сведения к квадратному уравнению. Выразим cos 2 х через sin 2 x
sin x + 1 – sin 2 x = 1/4
4 sin 2 x – 4 sin x – 3 = 0
sin x = -1/2, sin x = 3/2(не удовлетворяет условию х€[-1;1]),
т.е. х = (-1) к+1 arcsin 1/2 + k, k€z,
Ответ : (-1) к+1 /6 + k, k€z.
2. Решить уравнение: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,
решим способом разложения на множители
2 tg x cos x – 2 cos x + 1 – tg x = 0,где х /2 + k, k€z,
2 cos x (tg x – 1) – (tg x – 1) = 0
(2 cos x – 1) (tg x – 1) = 0
2 cos x – 1 = 0 или tg x – 1 = 0
cos x = 1/2, tgx = 1,
т.е х = ± /3 + 2k, k€z, х = /4 + m, m€z.
Ответ : ± /3 + 2k, k€z, /4 + m, m€z.
3. Решить уравнение: sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0.
Решение : sin 2 x – 3 sin х cos x + 2 cos 2 х = 0 однородное уравнение 2 степени. Поскольку cos x = 0 не является корнем данного уравнения, разделим левую и правую часть на cos 2 х. В результате приходим к квадратному уравнению относительно tg x
tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0,
tg x = 1 и tg x = 2,
откуда х = /4 + m, m€z,
х = arctg 2 + k, k€z.
Ответ : /4 + m, m€z, arctg 2 + k, k€z.
4. Решить уравнение: cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4.
Решение : Метод введения новой переменной
Пусть 5х + 6 = у, тогда cos 2у + 4 2 sin у = 4
1 – 2 sin 2 у + 4 2 sin у – 4 = 0
sin у = t, где t€[-1;1]
2t 2 – 4 2t + 3 = 0
t = 2/2 и t = 3 2/2 (не удовлетворяет условию t€[-1;1])
sin (5x + 6) = 2/2,
5x + 6 = (-1) к /4 + k, k€z,
х = (-1) к /20 – 6/5 + k/5, k€z.
Ответ : (-1) к?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.
5. Решить уравнение: (sin х – cos у) 2 + 40х 2 = 0
Решение: Используем а 2 +в 2 +с 2 = 0, верно, если а = 0, в = 0, с = 0. Равенство возможно, если sin х – cos у = 0, и 40х = 0 отсюда:
х = 0, и sin 0 – cos у = 0, следовательно, х = 0, и cos у = 0, отсюда: х = 0, и у = /2 + k, k€z, также возможна запись (0; /2 + k) k€z.
Ответ : (0; /2 + k) k€z.
6. Решить уравнение: sin 2 х + cos 4 х – 2 sin х + 1 = 0
Решение: Преобразуем уравнение и применим метод “разделяй и властвуй”
(sin 2 х – 2 sin х +1) + cos 4 х = 0;
(sin х – 1) 2 + cos 4 х = 0; это возможно если
(sin х – 1) 2 = 0, и cos 4 х = 0, отсюда:
sin х – 1 = 0, и cos х = 0,
sin х = 1, и cos х = 0, следовательно
х = /2 + k, k€z
Ответ : /2 + k, k€z.
7. Решить уравнение: sin 5х + sin х = 2 + cos 2 х.
Решение: применим метод оценки левой и правой части и ограниченность функций cos и sin.
– 1 sin 5х 1, и -1 sin х 1
0 + 2 2 + cos 2 х 1 + 2
2 2 + cos 2 х 3
sin 5х + sin х 2, и 2 + cos 2 х 2
2 sin 5х + sin х 2, т.е.
sin 5х + sin х 2,
имеем левая часть 2, а правая часть 2,
равенство возможно если, они оба равны 2.
cos 2 х = 0, и sin 5х + sin х = 2, следовательно
х = /2 + k, k€z (обязательно проверить).
Ответ : /2 + k, k€z.
8. Решить уравнение: cos х + cos 2х + cos 3х+ cos 4х = 0.
Решение : Решим методом разложения на множители. Группируем слагаемые, расположенные в левой части, в пары.
(В данном случае любой способ группировки приводит к цели.) Используем формулу cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2.
2 cos 3/2х cos х/2 + 2 cos 7/2х cos х/2 = 0,
cos х/2 (cos 3/2х + cos 7/2х) = 0,
2 cos 5/2х cos х/2 cos х = 0,
Возникают три случая:
Ответ : + 2k, /5 + 2/5k, /2 + k, k€z.
Обратим внимание на то, что второй случай включает в себя первый. (Если во втором случае взять к = 4 + 5, то получим + 2n). Поэтому нельзя сказать, что правильнее, но во всяком случае “культурнее и красивее” будет выглядеть ответ: х 1 = /5 + 2/5k, х 2 = /2 + k, k€z. (Вновь типичная ситуация, приводящая к различным формам записи ответа). Первый ответ также верен.
Рассмотренное уравнение иллюстрирует весьма типичную схему решения – разложение уравнения на множители за счёт попарной группировки и использования формул:
sin a + sin b = 2 sin (a + b)/2 cos (a – b)/2;
sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;
cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;
cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.
Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений весьма специфична и обычно оказывается более сложной, чем это имело место для уравнений алгебраических. Приведём решения уравнений, иллюстрирующие типичные случаи появления лишних (посторонних) корней и методы “борьбы” с ними.
Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнений. Приведём примеры.
9. Решить уравнение: (sin 4х – sin 2х – cos 3х + 2sin х -1)/(2sin 2х – 3) = 0.
Решение: Приравняем нулю числитель (при этом происходит расширение области определения уравнения – добавляются значения х, обращающие в нуль знаменатель) и постараемся разложить его на множители. Имеем:
2 cos 3х sin х – cos 3х + 2sin х – 1 = 0,
(cos 3х + 1) (2 sin х – 1) = 0.
Получаем два уравнения:
cos 3х + 1 = 0, х = /3 + 2/3k.
Посмотрим, какие k нам подходят. Прежде всего, заметим, что левая часть нашего уравнения представляет собой периодическую функцию с периодом 2. Следовательно, достаточно найти решение уравнения, удовлетворяющее условию 0 х < 2 (один раз “обойти” круг), затем к найденным значениям прибавить 2k.
Неравенству 0 х < 2 удовлетворяют три числа: /3, 5/3.
Первое не подходит, поскольку sin 2/3 = 3/2, знаменатель обращается в нуль.
Ответ для первого случая: х 1 = + 2k, х 2 = 5/3 + 2k (можно х 2 = – /3 + 2k), k€z.
Найдём решение этого уравнения, удовлетворяющие условию 0 х < 2. Их два: /6, 5/6. Подходит второе значение.
Ответ : + 2k, 5/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.
10. Найти корни уравнений: v(cos 2х + sin 3х) = v2 cos х.
Решение этого уравнения распадается на два этапа:
1) решение уравнения, получающегося из данного возведением в квадрат обеих его частей;
2) отбор тех корней, которые удовлетворяют условию cos х 0. При этом (как и в случае алгебраических уравнений) заботиться об условии cos 2х + sin 3х 0 нет необходимости. Все значения k, удовлетворяющие возведённому в квадрат уравнению, этому условию удовлетворяют.
Первый шаг приводит нас к уравнению sin 3х = 1, откуда х 1 = /6 + 2/3k.
Теперь надо определить, при каких k будет иметь место cos (/6 + 2/3k) 0. Для этого достаточно для k рассмотреть значения 0, 1, 2, т.е. как обычно “обойти один раз круг”, поскольку дальше значения косинуса будут отличаться от уже рассмотренных на величину, кратную 2.
Ответ : /6 + 2k, 3/2/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.
11. Решить уравнение: sin 8 х – cos 5 х = 1.
Решение этого уравнения основывается на следующем простом соображении: если 0 < a < 1 то a t убывает с ростом t.
Значит, sin 8 х sin 2 х, – cos 5 х cos 2 х;
Сложив почленно эти неравенства, будем иметь:
sin 8 х – cos 5 х sin 2 х + cos 2 х = 1.
Следовательно, левая часть данного уравнения равна единице тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:
sin 8 х = sin 2 х, cos 5 х = cos 2 х,
т.е. sin х может принимать значения -1, 0
Ответ : /2 + k, + 2k, k€z.
Для полноты картины рассмотрим ещё пример.
12. Решить уравнение: 4 cos 2 х – 4 cos 2 3х cos х + cos 2 3х = 0.
Решение : Будем рассматривать левую часть данного уравнения как квадратный трёхчлен относительно cos х.
Пусть D – дискриминант этого трёхчлена:
1/4 D = 4 (cos 4 3х – cos 2 3х).
Из неравенства D 0 следует cos 2 3х 0 или cos 2 3х 1.
Значит, возникают две возможности: cos 3х = 0 и cos 3х = ± 1.
Если cos 3х = 0, то из уравнения следует, что и cos х = 0, откуда х = /2 + k.
Эти значения х удовлетворяют уравнению.
Если cos 3х = 1, то из уравнения cos х = 1/2 находим х = ± /3 + 2k. Эти значения также удовлетворяют уравнению.
Ответ : /2 + k, /3 + 2k, k€z.
13. Решить уравнение: sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x.
Решение : Преобразуем выражение sin 4 x + cos 4 x,выделив полный квадрат: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 х cos 2 х + cos 4 x – 2 sin 2 х cos 2 х = (sin 2 х + cos 2 х) 2 – 2 sin 2 х cos 2 х, откуда sin 4 x + cos 4 x = 1 – 1/2 sin 2 2х. Пользуясь полученной формулой, запишем уравнение в виде
1-1/2 sin 2 2х = 7/4 sin 2х.
обозначив sin 2х = t, -1 t 1,
получим квадратное уравнение 2t 2 + 7t – 4 = 0,
решая которое, находим t 1 = 1/2, t 2 = – 4
уравнение sin 2х = 1/2
2х = (- 1) к /6 + k, k€z, х = (- 1) к //12 + k /2, k€z .
Тригонометрия, как наука, зародилась на Древнем Востоке. Первые тригонометрические соотношения были выведены астрономами для создания точного календаря и ориентированию по звездам. Данные вычисления относились к сферической тригонометрии, в то время как в школьном курсе изучают соотношения сторон и угла плоского треугольника.
Тригонометрия – это раздел математики, занимающийся свойствами тригонометрических функций и зависимостью между сторонами и углами треугольников.
В период расцвета культуры и науки I тысячелетия нашей эры знания распространились с Древнего Востока в Грецию. Но основные открытия тригонометрии – это заслуга мужей арабского халифата. В частности, туркменский ученый аль-Маразви ввел такие функции, как тангенс и котангенс, составил первые таблицы значений для синусов, тангенсов и котангенсов. Понятие синуса и косинуса введены индийскими учеными. Тригонометрии посвящено немало внимания в трудах таких великих деятелей древности, как Евклида, Архимеда и Эратосфена.
Основные величины тригонометрии
Основные тригонометрические функции числового аргумента – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Каждая из них имеет свой график: синусоида, косинусоида, тангенсоида и котангенсоида.
В основе формул для расчета значений указанных величин лежит теорема Пифагора. Школьникам она больше известна в формулировке: «Пифагоровы штаны, во все стороны равны», так как доказательство приводится на примере равнобедренного прямоугольного треугольника.
Синус, косинус и другие зависимости устанавливают связь между острыми углами и сторонами любого прямоугольного треугольника. Приведем формулы для расчета этих величин для угла A и проследим взаимосвязи тригонометрических функций:
Как видно, tg и ctg являются обратными функциями. Если представить катет a как произведение sin A и гипотенузы с, а катет b в виде cos A * c, то получим следующие формулы для тангенса и котангенса:
Тригонометрический круг
Графически соотношение упомянутых величин можно представить следующим образом:
Окружность, в данном случае, представляет собой все возможные значения угла α — от 0° до 360°. Как видно из рисунка, каждая функция принимает отрицательное или положительное значение в зависимости от величины угла. Например, sin α будет со знаком «+», если α принадлежит I и II четверти окружности, то есть, находится в промежутке от 0° до 180°. При α от 180° до 360° (III и IV четверти) sin α может быть только отрицательным значением.
Попробуем построить тригонометрические таблицы для конкретных углов и узнать значение величин.
Значения α равные 30°, 45°, 60°, 90°, 180° и так далее – называют частными случаями. Значения тригонометрических функций для них просчитаны и представлены в виде специальных таблиц.
Данные углы выбраны отнюдь не случайно. Обозначение π в таблицах стоит для радиан. Рад — это угол, при котором длина дуги окружности соответствует ее радиусу. Данная величина была введена для того, чтобы установить универсальную зависимость, при расчетах в радианах не имеет значение действительная длина радиуса в см.
Углы в таблицах для тригонометрических функций соответствуют значениям радиан:
Итак, не трудно догадаться, что 2π – это полная окружность или 360°.
Свойства тригонометрических функций: синус и косинус
Для того, чтобы рассмотреть и сравнить основные свойства синуса и косинуса, тангенса и котангенса, необходимо начертить их функции. Сделать это можно в виде кривой, расположенной в двумерной системе координат.
Рассмотри сравнительную таблицу свойств для синусоиды и косинусоиды:
| Синусоида | Косинусоида |
|---|---|
| y = sin x | y = cos x |
| ОДЗ [-1; 1] | ОДЗ [-1; 1] |
| sin x = 0, при x = πk, где k ϵ Z | cos x = 0, при x = π/2 + πk, где k ϵ Z |
| sin x = 1, при x = π/2 + 2πk, где k ϵ Z | cos x = 1, при x = 2πk, где k ϵ Z |
| sin x = - 1, при x = 3π/2 + 2πk, где k ϵ Z | cos x = - 1, при x = π + 2πk, где k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, т. е. функция нечетная | cos (-x) = cos x, т. е. функция четная |
| функция периодическая, наименьший период - 2π | |
| sin x › 0, при x принадлежащем I и II четвертям или от 0° до 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, при x принадлежащем I и IV четвертям или от 270° до 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, при x принадлежащем III и IV четвертям или от 180° до 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, при x принадлежащем II и III четвертям или от 90° до 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| возрастает на промежутке [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | возрастает на промежутке [-π + 2πk, 2πk] |
| убывает на промежутках [ π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | убывает на промежутках |
| производная (sin x)’ = cos x | производная (cos x)’ = - sin x |
Определить является ли функция четной или нет очень просто. Достаточно представить тригонометрический круг со знаками тригонометрических величин и мысленно «сложить» график относительно оси OX. Если знаки совпадают, функция четная, в противном случае — нечетная.
Введение радиан и перечисление основных свойств синусоиды и косинусоиды позволяют привести следующую закономерность:
Убедиться в верности формулы очень просто. Например, для x = π/2 синус равен 1, как и косинус x = 0. Проверку можно осуществить обративших к таблицам или проследив кривые функций для заданных значений.
Свойства тангенсоиды и котангенсоиды
Графики функций тангенса и котангенса значительно отличаются от синусоиды и косинусоиды. Величины tg и ctg являются обратными друг другу.
- Y = tg x.
- Тангенсоида стремится к значениям y при x = π/2 + πk, но никогда не достигает их.
- Наименьший положительный период тангенсоиды равен π.
- Tg (- x) = — tg x, т. е. функция нечетная.
- Tg x = 0, при x = πk.
- Функция является возрастающей.
- Tg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, при x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Производная (tg x)’ = 1/cos 2 x .
Рассмотрим графическое изображение котангенсоиды ниже по тексту.
Основные свойства котангенсоиды:
- Y = ctg x.
- В отличие от функций синуса и косинуса, в тангенсоиде Y может принимать значения множества всех действительных чисел.
- Котангенсоида стремится к значениям y при x = πk, но никогда не достигает их.
- Наименьший положительный период котангенсоиды равен π.
- Ctg (- x) = — ctg x, т. е. функция нечетная.
- Ctg x = 0, при x = π/2 + πk.
- Функция является убывающей.
- Ctg x › 0, при x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, при x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Производная (ctg x)’ = — 1/sin 2 x Исправить
Лекция: Синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла
Синус, косинус произвольного угла
Чтобы понять, что такое тригонометрические функции, обратимся к окружности с единичным радиусом. Данная окружность имеет центр в начале координат на координатной плоскости. Для определения заданных функций будем использовать радиус-вектор ОР , который начинается в центре окружности, а точка Р является точкой окружности. Данный радиус-вектор образует угол альфа с осью ОХ . Так как окружность имеет радиус, равный единице, то ОР = R = 1 .
Если с точки Р опустить перпендикуляр на ось ОХ , то получим прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной единице.
Если радиус-вектор двигается по часовой стрелке, то данное направление называется отрицательным , если же он двигается против движения часовой стрелки - положительным .
Синусом угла ОР , является ордината точки Р вектора на окружности.
То есть, для получения значения синуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой У на плоскости.
Как данное значение было получено? Так как мы знаем, что синус произвольного угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, получим, что
А так как R = 1 , то sin(α) = y 0 .
В единичной окружности значение ординаты не может быть меньше -1 и больше 1, значит,
Синус принимает положительное значение в первой и второй четверти единичной окружности, а в третьей и четвертой - отрицательное.
Косинусом угла данной окружности, образованного радиусом-вектором ОР , является абсцисса точки Р вектора на окружности.
То есть, для получения значения косинуса данного угла альфа необходимо определиться с координатой Х на плоскости.
Косинус произвольного угла в прямоугольном треугольнике - это отношение прилежащего катета к гипотенузе, получим, что
А так как R = 1 , то cos(α) = x 0 .
В единичной окружности значение абсциссы не может быть меньше -1 и больше 1, значит,
Косинус принимает положительное значение в первой и четвертой четверти единичной окружности, а во второй и в третьей - отрицательное.
Тангенсом произвольного угла считается отношение синуса к косинусу.
Если рассматривать прямоугольный треугольник, то это отношение противолежащего катета к прилежащему. Если же речь идет о единичной окружности, то это отношение ординаты к абсциссе.
Судя по данным отношениям, можно понять, что тангенс не может существовать, если значение абсциссы равно нулю, то есть при угле в 90 градусов. Все остальные значения тангенс принимать может.
Тангенс имеет положительное значение в первой и третьей четверти единичной окружности, а во второй и четвертой является отрицательным.