Математика – царица наук. Ее величие безгранично, а сила – велика. Все другие науки опираются на математические результаты. Будь то физика, химия, биология, и даже филология.
Как дом складывается из кирпичей, так и в каждой задаче есть маленькие подзадачи. И научившись решать маленькие, можно научиться решать более сложные задачи.
Сегодня разберем, как находить дроби. Понятие дроби возникло в Древней Греции, после того как греки ввели понятие длины, эквивалентное целым числам. Далее понадобилось понятие, выражающее часть длины, например половина, одна треть длины. Так и появилось понятие дроби.
Множество рациональных чисел Q – множество чисел, представляемых в виде m/n, где m,n – целые числа. Число m/n называется обыкновенной дробью, где m- числитель, а n- знаменатель, n≠0.
Если n=〖10〗^k, k=1,2,.. ,то такая дробь называется десятичной и записывается как 0,0..0m, причем количество нулей после запятой равно k-1.
Число называется составным, если имеет другие делители помимо 1 и самого себя.
Основные операции
Двигаться будем от простого к сложному, показав на примерах, как именно производятся те или иные операции.
Как сократить дробь
Для этого надо разложить числитель и знаменатель на простые множители, если они составные. А далее, если эти простые множители совпадают, то удалить их.
В случае отсутствия простых множителей, дробь называется некосократимой. К примеру, 85/65=(17*5)/(13*5)=17/13
Как найти дробь от числа
Пусть число - некая длина. А дробь по сути - часть этой длины, значит для нахождения целочисленной части надо умножить дробь на число. К примеру, 2/3 от 27=27*2/3=27/3*2=18
Как найти дробь от дроби
ПО сути это простой процесс умножения, чтобы найти дробь от дроби, надо просто перемножить 2 дроби. К примеру, 2/3 и 13/17: 2/3*13/17=26/51
Деление дробей
При делении дробей a/b,c/d делитель c/d можно представить в виде d/c и выполнить умножение, а далее сократить. К примеру, 27/17 ?9/34=27/17*34/9=2*3=6.
Также необходимо помнить, что при решении сложных примеров необходимо придумать алгоритм решения. Возможно придется поменять деление на умножение со сменой дроби, возможно выполнить домножение и деление на одно и тоже число. Такие достаточно простые указания помогут в решении примеров.
В качестве примера возьмем классическую текстовую задачу. Со склада, на котором было 150 тонн мазута украли 2/3. Украденные части распределили по частям в соотношении 5/17 и 12/17, на переработку повезли последний. Оставшиеся на складе мазут повезли на переработку. Сколько переработали мазута?
150*2/3*12/17+150*(1-2/3)=150*41/51
Задачи на дроби – база школьной арифметики. Они не сложны по своей сути, но требует для выполнения усидчивости и внимательности. При выполнении этих условий, результат не заставит себя долго ждать.
Содержимое:
Нахождение дроби от числа равнозначно умножению числа на дробь. Описанный метод применим к любому числу (процентам, обыкновенным дробям, смешанным числам, десятичным дробям), но лучше пользоваться им при работе с целыми числами. Чтобы освоить описанный метод, нужно знать операции и.
Шаги
Часть 1 Умножение числа на дробь
- 1
Запишите задачу.
Если в задаче числа представлены словами, запишите их цифрами. Если же в задаче даются цифры, пропустите этот шаг.
- Например: найдите одну третью от семи?
- Если в задаче между двумя числами стоит предлог «от», нужно перемножить эти числа. Таким образом, в нашем примере одну третью нужно умножить на семь.
- Запишите это так: (1 / 3) x 7.
- 2
Целое число умножьте на числитель.
Работая с целым числом, всегда умножайте его на числитель (верхнее число) дроби. Знаменатель не меняется на протяжении всего процесса умножения.
- В нашем примере: (1 / 3) x 7 = 7 / 3 .
- 3
Полученный результат разделите на знаменатель.
Результат умножения разделите на знаменатель (нижнее число) дроби. На данном этапе, то есть числитель больше знаменателя, или дробь нужно просто.
- В нашем примере после перемножения числа и дроби получилась дробь 7 / 3 . Семь на три не делится нацело, поэтому получится остаток: 7/3 = 2 с остатком 1. Таким образом, в результате получится смешанное число: 2 1 / 3
Часть 2 Упрощение результата
- 1
Упростите неправильную дробь.
Это дробь, у которой числитель больше знаменателя. Перед тем как написать окончательный ответ, обязательно упростите неправильную дробь, то есть преобразуйте ее в смешанное число. Для этого разделите числитель на знаменатель, а остаток запишите в числителе новой дроби.
- Например: 10 / 3
- Разделите: 10/3 = 9 с остатком 1.
- Остаток запишите в числителе новой дроби (знаменатель не меняется): 1 / 3
- 2
Запишите.
Смешанное число состоит из целой части и дробной части. Это упрощенная форма неправильной дроби. Чтобы записать смешанное число, рядом напишите целое число и дробь, которая получена из остатка.
- Например: 10 / 3 . Разделите 10 на 3: 10/3 = 3 с остатком 1. Смешанное число: 3 1 / 3 .
- 3
Сократите дробь до наименьших значений числителя и знаменателя.
Выполнив умножение, сократите дробь. Для этого разделите числитель и знаменатель на некоторый общий делитель.
- Например, сократите дробь 4 / 8 . Разделите числитель и знаменатель на 4: 4 / 8 = 1 / 2 .
Итак, пусть нам дано некоторое целое число a. Нам необходимо найти, например, пятую часть от этого числа. Сделать это можно с помощью обыкновенных дробей:
- Поскольку нам необходимо найти пятую часть от числа, то мы ищем 1/5 от числа a.
- Чтобы найти 1/5 от числа a, мы должны умножить число a на часть, которую нам необходимо найти, то есть выполнить действие: a * 1/5 = a/5. То есть пятая часть от числа a - это a/5.
- При этом, если мы ищем часть от целого числа, то результат будет меньше, чем исходное число.
Могут быть разные задачи на нахождении части от целого: если необходимо найти, например, десятую часть от числа a, то надо a * 1/10 = a/10. Если требуется найти 1/8 от числа a, то надо a * 1/8 = a/8.
Нахождение любой части от целого выполняется умножением данного целого числа на часть, которую требуется найти.
Рассмотрим конкретный пример для ещё большего запоминания решения.
Как найти шестую часть от числа 36
Нам дано целое - число 36. Нам необходимо найти от него шестую часть, иначе - необходимо найти 1/6 от числа 36. Выполним действие умножение целого на часть: 36 * 1/6 = 6. Значит шестая часть от числа 36 - это число 6. Можно еще сказать следующее: число 36 ровно в шесть раз больше числа 6, или число 6 ровно в шесть раз меньше числа 36.
Для нахождения части любого числа его следует разделить на размер этой самой части. Действия при этом будут различаться в зависимости от формы записи дроби;
С обыкновенной дробью:
Если числитель обыкновенной дроби без остатка делится на заданный размер части, то достаточно просто разделить числитель на этот заданный размер;
Если же числитель нельзя без остатка разделить на заданную часть, то надо знаменатель умножить на размер этой части; С смешанной дробью: Проделываем тоже самое, как и с обыкновенной дробью, но только вначале нужно преобразовать смешанную дробь в обыкновенную. С десятичной дробью: Вычисление будет состоять из единственной операции деления. Десятичную дробь можно разделить на заданный размер части в столбик.
Итак, пусть нам дано некоторое целое число a. Нам необходимо найти половину от этого числа. Сделать это можно с помощью обыкновенных дробей:
- Обозначим целое за единицу, тогда половина от единицы - это 1/2. Значит нам надо найти 1/2 от числа a.
- Чтобы найти 1/2 от числа a, мы должны умножить число a на часть, которую нам необходимо найти, то есть выполнить действие: a * 1/2 = a/2. То есть половина от числа a - это a/2.
- При этом, если мы ищем часть от целого числа, то результат будет меньше, чем исходное число.
Могут быть разные задачи на нахождении части от целого: если необходимо найти, например, четверть от числа a, то надо a * 1/4 = a/4. Если требуется найти 1/8 от числа a, то надо a * 1/8 = a/8. Нахождение любой части от целого выполняется умножением данного целого числа на часть, которую требуется найти.
Рассмотрим пример.
Как найти третью часть от числа 75
Нам дано целое - число 75. Нам необходимо найти от него третью часть, иначе - необходимо найти 1/3. Выполним действие умножение целого на часть: 75 * 1/3 = 25. Значит третья часть от числа 75 - это число 25. Можно сказать и так: число 25 меньше числа 75 в три раза. Или: число 75 больше числа 25 в три раза.